بررسی ماتریس الگوریتم
-2) EZW
الگوریتم EZW در سال 1993 توسط shapiro ابداع شد نام کامل این واژه به معنای کدینگ تدریجی با استفاده از درخت ضرایب ویولت است. این الگوریتم ضرایب ویولت را به عنوان مجموعه ای از درختهای جهت یابی مکانی در نظر می گیرد هر درخت شامل ضرایبی از تمام زیرباندهای فرکانسی و مکانی است که به یک ناحیه مشخص از تصویر اختصاص دارند. الگوریتم ابتدا ضرایب ویولت با دامنه بزرگتر را کددهی می کند در صورتیکه دامنه یک ضریب بزرگتر یا مساوی آستانه مشخص باشد ضریب به عنوان ضریب معنی دار در نظر گرفته می شود و در غیر اینصورت بی معنی می باشد یک درخت نیز در صورتی معنی دار است که بزرگترین ضریب آن از نظر دامنه بزرگتر یا مساوی با آستانه مورد نظر باشد و در غیراینصورت درخت بی معنی است.
مقدار آستانه در هر مرحله از الگوریتم نصف می شود و بدین ترتیب ضرایب بزرگتر زودتر فرستاده می شوند در هر مرحله، ابتدا معنی دار بودن ضرایب مربوط به زیر باند فرکانسی پایین تر ارزیابی می شود اگر مجموعه بی معنی باشد یک علامت درخت صفر استفاده می شود تا نشان دهد که تمامی ضرایب مجموعه صفر می باشند در غیراینصورت مجموعه به چهارزیرمجموعه برای ارزیابی بیشتر شکسته می شود و پس از اینکه تمامی مجموعه ها و ضرایب مورد ارزیابی قرار گرفته اند این مرحله به پایان می رسد کدینگ EZW براساس این فرضیه استوار است که چگالی طیف توان در اکثر تصاویر طبیعی به سرعت کاهش می یابد بدین معنی که اگر یک ضریب در زیر باند فرکانسی پایین تر کوچک باشد به احتمال زیاد ضرایب مربوط به فرزندان آن در زیر باندهای بالاتر نیز کوچک هستند به بیان دیگر اگر یک ضریب والد بی معنی باشد به احتمال زیاد فرزندان آن نیز بی معنی هستند اگر آستانه ها توانهایی از دو باشند میتوان کدینگ EZW را به عنوان یک کدینگ bit-plane در نظر گرفت در این روش در یک زمان، یک رشته بیت که از MSB شروع می شود کددهی می شود با کدینگ تدریجی رشته بیت ها و ارزیابی درختها از زیرباندهای فرکانسی کمتر به زیرباندهای فرکانسی بیشتر در هر رشته بیت میتوان به کدینگ جاسازی دست یافت.
الگوریتم EZW بر پایه 4 اصل استوار است [3]
1- جدا کردن سلسله مراتبی زیرباندها با استفاده از تبدیل ویولت گسسته
1-1-2) تبدیل ویولت گسسته
تبدیل ویولت سلسله مراتبی که در EZW و SPIHT مورد استفاده قرار می گیرد نظیر یک سیستم تجزیه زیرباند سلسله مراتبی است که در آن فاصله زیرباندها در مبنای فرکانس بصورت لگاریتمی است.
در شکل 2-2 یک مثال از تجزیه دو سطحی ویولت روی یک تصویر دو بعدی نشان داده شده است. تصویر ابتدا با بکارگیری فیلترهای افقی و عمودی به چهار زیرباند تجزیه می‌شود. در تصویر (c ) 2-2 هر ضریب مربوط به ناحیه تقریبی 2×2 پیکسل در تصویر ورودی است. پس از اولین مرحله تجزیه سه زیر باند LH1 , HL1 و HH1 بعنوان زیرباندهای فرکانس بالایی در نظر گرفته می شوند که به ترتیب دارای سه موقعیت عمودی، افقی و قطری می باشند اگر Wv , Wh به ترتیب فرکانسهای افقی و عمودی باشند، پهنای باند فرکانسی برای هر زیر باند در اولین سطح تجزیه ویولت در جدول
1-2 آمده است[4]
جدول 2-1 ) پهنای باند فرکانسی مربوط به هر زیر باند پس از اولین مرحله تجزیه ویولت با استفاده از فیلترهای مشابه (پایین گذر و بالاگذر) زیر باند LL1 پس از اولین مرحله تجزیه ویولت، مجدداً تجزیه شده و ضرایب ویولت جدیدی به دست می آید جدول 2-2) پهنای باند مربوط به این ضرایب را نشان می دهد.
2-1-2) تبدیل ویولت بعنوان یک تبدیل خطی
میتوان تبدیل بالا را یک تبدیل خطی در نظر گرفت [5]. P یک بردار ستونی که درایه هایش نشان دهنده یک اسکن از پیکسلهای تصویر هستند. C یک بردار ستونی شامل ضرایب ویولت به دست آمده است از بکارگیری تبدیل ویولت گسسته روی بردار p است. اگر تبدیل ویولت بعنوان ماتریس W در نظر گرفته شوند که سطرهایش توابع پایه تبدیل هستند میتوان تبدیل خطی زیر را در نظر گرفت.
فرمول
بردار p را میتوان با تبدیل ویولت معکوس به دست آورد.
فرمول
اگر تبدیل W متعامد باشد. است و بنابراین
فرمول
در واقع تبدیل ویولت W نه تنها متعامد بلکه دو متعامدی می باشد.
3-1-2) یک مثال از تبدیل ویولت سلسله مراتبی
یک مثال از تبدیل ویولت سلسله مراتبی در این بخش شرح داده شده است. تصویر اولیه 16*16 و مقادیر پیکسلهای مربوط به آن به ترتیب در شکل 3-2 و جدول 3-2 آمده است.
یک ویولت چهارلایه روی تصویر اولیه اعمال شده است. فیتلر مورد استفاده فیلتر دو متعامدی Daubechies 9/7 است [6]. جدول 4-2 ضرایب تبدیل گرد شده به اعداد صحیح را نشان می دهد. قابل توجه است که ضرایب با دامنه بیشتر در زیرباندهای با فرکانس کمتر قرار گرفته اند و بسیاری از ضرایب دامنه های کوچکی دارند ویژگی فشرده سازی انرژی در تبدیل ویولت در این مثال به خوبی دیده می شود جدول 5-2 تصویر تبدیل یافته و کمی شده را نشان می دهد چنانکه کمی سازی تنها برای اولین سطح ویولت انجام گرفته است یک ضریب مقیاس 25/0 در هر ضریب فیلتر ویولت ضرب شده و سپس مجموعه فیلتر پاین گذر و بالاگذر روی تصویر اولیه بکار گرفته می شود اندازه گام کمی سازی مربوطه در این حالت 16 است.
پس از کمی سازی بیشتر ضرایب در بالاترین زیر باند فرکانسی صفر می شوند تصویربازسازی شده و تبدیل ویولت معکوس در شکل (b) 7-2 و جدول 6-2 آمده است. به علت کمی سازی بازسازی با اتلاف است.
1- ضرایب با دامنه بزرگتر زدوتر ارسال می شوند.
2- بیتهای پرارزش تر ضریب حاوی اطلاعات کمتری هستند و زودتر ارسال میشوند.
میتوان نشان داد که چگونه اینکدر SPIHT از این اصلها برای انتقال تدریجی ضرایب ویولت به دیکدر استفاده می کند فرض می شود تبدیل ویولت به تصویر اعمال شده و ضرایب Ci,j در حافظه ذخیره شده اند. این ضرایب بدون در نظر گرفتن علامتشان مرتب شده و اطلاعات مرتب شده در آرایه m قرار گرفته اند و عضو m(k) از این آرایه شامل مختصات (i,j) مربوط به آرایه Ci,j است و بنابراین برای همه مقادیر k داریم
فرمول
جدول 58-5 مقادیر فرضی 16 ضریب را نشان می دهد که هر کدام بعنوان یک عدد 16 بیتی نشان داده شده است. پرارزشترین بیت،بیت علامت است و 15 بیت باقیمانده مربوط به مقدار عدد هستند. اولین ضریب است که برابر با S1aci…r است. ضریب دوم نیز برابر با است و به همین ترتیب
اطلاعات مرتب شده ای که اینکدر باید بفرستد دنباله m(k) است که به ترتیب زیر است:
علاوه بر آن باید 16 علامت و 16 ضریب را به ترتیب ارزش بفرستد. یک انتقال مستقیم شامل ارسال 16 عدد است. این روش یک روش wastfull است. در الگوریتم SPIHT ، اینکدر وارد یک حلقه می شود که در هر تکرار حلقه دو گام انجام می شود: گام مرتب سازی و گام اصلاح.
در اولین تکرار اینکدر عدد 2= L یعنی تعدد ضرایبی را که در فاصله
فرمول
قرار دارند می فرستد در ادامه دو جفت مختصات ( 3و 2 ) و (4 و 3) و علامت دو ضریب اول فرستاده می شود. این عملیات در نخستین مرحله مرتب سازی انجام می شود. این اطلاعات دیکدر را قادر به تخمین زدن ضرایب به ترتیبی که در ادامه آمده است می کند:
ضرایب و بعنوان یک عدد 16 بیتی بصورت و 14 ضریب باقیمانده صفر بازسازی می شوند. این نشان می دهد که چگونه پرارزش ترین بیتهای مربوط به بزرگترین ضرایب ابتدا به دیکدر فرستاده می شوند. گام بعدی مرحله اصلاح می باشد که در تکرار اول انجام نمی شود.
در تکرار دوم (حلقه دوم) اینکدر هر دو گام را انجام می دهد. در مرحله مرتب سازی عدد 4= L بعنوان تعداد ضرایبی که در فاصله
فرمول
قرار دارند در ادامة آن چهار مختصات ( 2و 3) ، (4 و 4) ، (2 و 1) و (1 و3) و علامت چهار ضریب فرستاده می شود. در گام اصلاح دو بیت b , a بعنوان چهاردهمین بیت با ارزش ضرایب مربوطه به حلقه قبلی فرستاده می شود.
اطلاعات به دست آمده دیکدر را قادر به اصلاح ضرایب تقریبی که از مرحله قبل بدست آمده اند می کند و شش ضریب اول به شکل زیر در می آید:
فرمول
و ده ضریب باقیمانده تغییری نمی کند.
2-2-2) دسته بندی ضرایب در الگوریتم SPIHT
به منظور کاهش تعداد تصمیم گیری ها در مقایسه میان بیتها و نیز کاهش حجم داده های خروجی در الگوریتم SPIHT از ساختار سلسله مراتبی استفاده می شود. در اینجا هدف اصلی دسته بندی ضرایب در مجموعه ها به گونه ای است که تعداد عضوهای یک مجموعه بی معنی حداکثر باشد و هر مجموعه معنی دار تنها یک عضو را شامل شود.